化简:2sin²2α+√3sin4α-（4tan2α/sin8α）·(1-tan²2α)/(1+tan²2α)

题目

化简:2sin²2α+√3sin4α-（4tan2α/sin8α）·(1-tan²2α)/(1+tan²2α)
化简:2sin²2α+√3sin4α-（4tan2α/sin8α）·(1-tan²2α)/(1+tan²2α)

答案

首先2sin²2α=1-cos4α
而1-tan²2α=(cos²2α-sin²2α)/cos²2α=cos4α/cos²2α
1+tan²2α=1+sin²2α/cos²2α=1/cos²2α
所以
2sin²2α+√3sin4α- (4tan2α/sin8α)*(1-tan²2α)/(1+tan²2α)
=1-cos4α+√3sin4α -(4tan2α/sin8α)*cos4α
而sin8α=2sin4α*cos4α=4sin2α*cos2α*cos4α
故
(4tan2α/sin8α)*cos4α
=4sin2α *cos4α /(cos2α *4sin2α*cos2α*cos4α)
=1/cos²2α
那么
原式=1-cos4α+√3sin4α -1/cos²2α
= (cos²2α-1)/cos²2α +2*(√3/2 *sin4α -1/2 *cos4α)
= -tan²2α+2sin(4α-π/6)