如图：三角形ABC为一般三角形,三角形ABM与三角形ANC为等腰直角三角形,BM垂直于AP,BP=CP,求证PM=PN?

题目

如图：三角形ABC为一般三角形,三角形ABM与三角形ANC为等腰直角三角形,BM垂直于AP,BP=CP,求证PM=PN?

答案

延长MP至D,使PD=PM,PD于NC交于点E,连接DC,DN,MN
因为 BP=CP,PD=PM,角BPM=角CPD
所以 三角形BPM全等于三角形CPD
所以 BM=CD,角BMP=角CDP=90度
因为 三角形ABM与三角形ANC为等腰直角三角形
所以 BM=AM,AN=CN,角NAC=角NCA=45度,角ANC=90度
因为 角BMP=角CDP=90度,角ANC=90度
所以 角ANC=角CDP
因为 角AEN=角CED
所以 角NAM=角NCD
因为 BM=CD,BM=AM
所以 AM=CD
因为 AN=CN,角NAM=角NCD,AM=CD
所以 三角形NAM全等于三角形NCD
所以 NM=ND,角ANM=角CND
因为 角ANC=90度
所以 角MND=角ANC-角ANM+角CND=角ANC=90度
因为 PD=PM,NM=ND,角MND=90度
所以 PM=PN
还可得到：PM垂直PN