已知函数f(x)＝32sinωx−sin2ωx2+1/2（ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝

3

2

sinωx−sin2

ωx

2

+

1

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围．

答案

（Ⅰ）f(x)＝32sinωx−1−cosωx2+12=32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6)．…（4分）因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）所以f(x)＝sin(2x+π6)．由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ...

（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin(ωx+

π

6

)，由此求得它的最小正周期．令2kπ−

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）因为x∈[0，

π

2

]，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．

考点点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．