将长度为2的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,求正方形的周长

题目

将长度为2的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,求正方形的周长

答案

正方形的周长为x,那么圆的面积就是2-x
那么正方形的面积=边长的平方=(x/4)的平方=x平方/16
圆形面积=π*r平方=[(2-x)/2π]平方*π=(x平方-4x+4)/4π
他们的面积之和=x平方/16+(x平方-4x+4)/4π
=(1/16+1/4π)x平方-x/π+1
让面积最小,那么x=8/(4+π)
所以正方形的周长=1.12