已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2

题目

已知抛物线C：y²=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求证：a²=

16(1−kb)

k2

．

答案

（Ⅰ）由抛物线定义，抛物线C：y²=2Px（p＞0）上点P（4，y₀）到焦点的距离等于它到准线x＝−

p

2

的距离，得5＝4+

p

2

，
∴p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：由

y2＝4x y＝kx+b

，得ky²-4y+4b=0，
当△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0 时，
y1+y2＝

4

k

，y1y2＝

4b

k

，
由|y₁-y₂|=a，即(y1+y2)2−4y1y2＝

16

k2

−

16kb

k

＝a2，
所以a2＝

16(1−kb)

k2

．

（Ⅰ）由抛物线的定义直接列式求出p，则抛物线C的方程可求；
（Ⅱ）联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数关系写出两交点纵坐标的和与积，代入|y₁-y₂|=a化简即可证明等式．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查抛物线的定义及轨迹方程的求法，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解，是中档题．