已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−2/3,满足Sn+1/Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−2/3,满足Sn+1/Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
题目
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
a
答案
由题设得S
n
2
+2S
n
+1-a
n
S
n
=0,当n≥2(n∈N
*
)时,a
n
=S
n
-S
n-1
,
代入上式,得S
n-1
S
n
+2S
n
+1=0.(*)
S
1
=a
1
=-
2
3
,
∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S
2
+
1
S
2
=a
2
-2=S
2
-a
1
-2,
∴
1
S
2
=
2
3
-2,
∴S
2
=-
3
4
.
同理可求得 S
3
=-
4
5
,S
4
=-
5
6
.
猜想S
n
=-
n+1
n+2
,n∈N
+
,下边用数学归纳法证明:
①当n=1时,S
1
=a
1
=-
2
3
,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即S
K
=-
K+1
K+2
,则当n=k+1时,∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2,∴
S
K+1
+
1
S
K+1
=
a
k+1
−2
,
∴
S
K+1
+
1
S
K+1
=
S
K+1
−
S
K
−2
,∴
1
S
K+1
=
K+1
K+2
-2=
−K−3
K+2
,
∴S
K+1
=-
K+2
K+3
,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 S
n
=-
n+1
n+2
,n∈N
+
成立.
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