设A是n阶非0矩阵,如果存在一正整数k使得A^k=0,证明A不可能相似于对角矩阵.

题目

设A是n阶非0矩阵,如果存在一正整数k使得A^k=0,证明A不可能相似于对角矩阵.

答案

假设A相似于对角矩阵Λ,
则由相似的定义有
A=P^(-1)ΛP,P可逆
所以
A^k=(P^(-1)ΛP)^k
=P^(-1)Λ^k*P=O
所以
Λ^k=O
即Λ=O
从而
A=P^(-1)ΛP=O
与A是n阶非0矩阵矛盾!
所以假设不成立,结论成立!