已知函数f(x)=log2(2^x+1)若关于X的方程Log2(2^x-1)=m+f(x)在〔1,2〕上有解,求m的范围

题目

已知函数f(x)=log2(2^x+1)若关于X的方程Log2(2^x-1)=m+f(x)在〔1,2〕上有解,求m的范围

答案

方程Log2(2^x-1)=m+f(x)=m+log2(2^x+1)=log2[(2^m)(2^x+1)
所以2^x-1=(2^m)(2^x+1)
1+2^m=(1-2^m)2^x
整理得：2^x=(1+2^m)/(1-2^m)
由于x∈(1,2),所以
2＜(1+2^m)/(1-2^m)＜4
令2=(1+2^m)/(1-2^m),得2^m=1/3,m=log(2,1/3),其中前一个数表示对数的底,下同
令4=(1+2^m)/(1-2^m),得2^m=3/5,m=log(2,3/5)
所以,m的范围为（log(2,1/3),log(2,3/5)）