已知函数f（x）＝1/2x²+lnx （1）求函数f（x）在区间【1,e】上的最值 （2）求证：在区间【1,正无穷）上,函数f（x）的图像在函数g(x)=2/3x³图像的下方

题目

已知函数f（x）＝1/2x²+lnx （1）求函数f（x）在区间【1,e】上的最值 （2）求证：在区间【1,正无穷）上,函数f（x）的图像在函数g(x)=2/3x³图像的下方

答案

(1)
F'(x)=x+1/x
因为在[1,e]上,F'(x)>0,F(x)单调增
所以F(1)为最小值,F(e)为最大值
F(1)=1/2
F(e)=(1/2)e^2+1
(2)
设k(x)=g(x)-F(x)=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx
则k'(x)=2x^2-x-1/x=2x^2-(x+1/x)
x范围是[1,正无穷],所以x+1/x0,g(x)-F(x)单调增
F(1)=1/2 g(1)=2/3
g(1)-F(1)>0
又因为g(x)-F(x)单调增
所以在[1,正无穷]上g(x)-F(x)>0
则F(x)图像在g(x)下