如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于点E,F在DE上,并且AF=CE. (1)求证:四边形ACEF是平行四边形; (2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF
题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于点E,F在DE上,并且AF=CE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请证明你的结论;
(3)四边形ACEF有可能是矩形吗?为什么?
答案
(1)证明:∵ED是BC的垂直平分线,
∴EB=EC.
∴∠3=∠4.
∵∠ACB=90°,
∴∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,
∴∠1=∠2.
∴AE=CE.
又∵AF=CE,
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形.
∴AF=AE,
∴∠F=∠5,
∵FD⊥BC,AC⊥BC,
∴AC∥FE.
∴∠1=∠5.
∴∠1=∠2=∠F=∠5,
∴∠AEC=∠EAF.
∴AF∥CE.
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠1=∠2=60°.
∴△EAC为等边三角形,
∴AC=EC.
∴平行四边形ACEF是菱形.
(3)四边形ACEF不可能是矩形.理由如下:
由(1)可知,∠2与∠3互余,
∠3≠0°,∴∠2≠90°.
∴四边形ACEF不可能是矩形.
举一反三
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