若函数f（x）对于任意实数都有f（x）=f（x-a）+f（x+a）（常数a为正整数）则f（x）是否为周期函数?若为周

题目

若函数f（x）对于任意实数都有f（x）=f（x-a）+f（x+a）（常数a为正整数）则f（x）是否为周期函数?若为周
期函数,求出它的一个周期；若不是函数,则说明理由

答案

在f(x)=f(x-a)+f(x+a)中,取x为x+a得：f(x+a)=f(x)+f(x+2a),即f(x)=f(x+a)-f(x+2a).所以,f(x-a)+f(x+a)=f(x+a)-f(x+2a),即f(x-a)=-f(x+2a).在f(x-a)=-f(x+2a)中,取x为x+a得：f(x)=-f(x+3a).根据上式可得：f(x+6a)=-f(...