设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明：一定存在x属于【0,1/2】,使得f(x)=f(x+1/2)

题目

设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明：一定存在x属于【0,1/2】,使得f(x)=f(x+1/2)

答案

令F(x)=f(x)-f(x+1/2)
有 F(0)=f(1)-f(1/2)
F(1/2)=f(1/2)-f(0)=f(1/2)-f(1)=-F(0)
所以F(0)与F(1/2)异号
所以一定存在t∈[0,1/2]使得F(t)=f(t)-f(t+1/2)=0
所以原命题得证