记Cn=an×bn求数列{Cn}的前n项和Tn

题目

记Cn=an×bn求数列{Cn}的前n项和Tn
an=2n-1 bn=2/(3^n)

答案

Cn =2(2n-1)/3^n = 4n/3^n -2/3^n
Tn= 4(1/3^1+2/3^2+...+n/3^n) - 2(1/3+1/3^2+.+1/3^n)
= 4(1/3^1+2/3^2+...+n/3^n) - 2*1/3 [1-1/3^(n+1)/(1-1/3)]
= 4(1/3^1+2/3^2+...+n/3^n) - 2*1/3 [1-1/3^(n+1)/(1-1/3)]
= 4(1/3^1+2/3^2+...+n/3^n) - 1 + 1/3^(n+1)
再求 s＝ 1/3^1+2/3^2+ 3/3^3 +...+n/3^n
3s＝ 1 + 2/3 + 3/3^2 +...+n/3^(n-1)
错位相减：3s－s＝1＋1/3+ 1/3^2 +.+ 1/3^(n-1) - n/3^n = 1/2 * [(3-1/3^(n-1)] - n/3^n
s=3/4 - 1/[4*3^(n-1)] -n/(2*3^n)
Tn= 3-1/3^(n-1)-2n/3^n - 1 + 1/3^(n+1)=2 + 1/3^(n+1)-1/3^(n-1)-2n/3^n