已知抛物线y=负三分之二x的平方+三分之四x+2的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D,点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B点运动,点M作x轴的垂线,交抛物线

题目

已知抛物线y=负三分之二x的平方+三分之四x+2的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D,点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B点运动,点M作x轴的垂线,交抛物线于点P.
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时,四边形OMPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.

答案

1）整理：y=(-2/3)x²+(4/3)x+2=(-2/3)(x²-2x-3)=(-2/3)(x-3)(x+1)
所以x轴交点坐标为(-1,0),(3,0)
从下文看,B（3,0）
当x=0,y=2,得C(0,2)
 
2)四边形OMPC是梯形,
设M运动了x秒,则M(x,0),P点的横坐标为x,纵坐标为(-2/3)x²+(4/3)x+2
所以四边形OMPC面积
S=（1/2）*(OC+PM)*OM
=(1/2)[2+(-2/3)x²+(4/3)x+2)]*x
=(-1/3)x^3+(2/3)x^2+2X
(0<x<3)