2、设a∈(0,/2),函数f(x)的定义域为〔0.1〕,且f(0)=0,f(1)=1 X≥y时,有f(x+y)/2=f(x) sina+(1- sina)f(y

题目

2、设a∈(0,/2),函数f(x)的定义域为〔0.1〕,且f(0)=0,f(1)=1 X≥y时,有f(x+y)/2=f(x) sina+(1- sina)f(y
2、设a∈(0,/2),函数f(x)的定义域为〔0.1〕,且f(0)=0,f(1)=1
X≥y时,有f(x+y)/2=f(x) sina+(1- sina)f(y).(1)求f(1/2) f(1/4),(2)求a的值

答案

(1)
f(1/2)=f(1)sina+(1- sina)f(0)=sina,
f(1/4)=f(1/2)sina+(1- sina)f(0)=(sina)^2,
(2)同理,f(3/4)=f(1)sina+(1- sina)f(1/2)=sina(2-sina)
那么 f(1/2)=f(3/4)sina+f(1/4)(1-sina)=(sina)^2(3-2sina)
于是(sina)^2(3-2sina)=sina,由于a∈(0, pi/2),故sina(3-2sina)=1,得sina=1/2,故a=pi/6.