已知圆C经过点P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4√3,半径小于5,求：

题目

已知圆C经过点P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4√3,半径小于5,求：
(1)圆C的方程
(2)过点（0,-5）且与圆C相切的直线方程

答案

（1）首先求出PQ中垂线方程：y=x-1
圆心必在该线上,设为（x0,x0-1）
圆心到y轴距离为x0,半径为根号下2x0^2-6x0+17
由圆在y轴上截得的线段长为4倍根号3
得方程
x0^2+12=2x0^2-6x0+17
解得x0=5或1
由半径小于5
得x0=1
圆为(x-1)^2+y^2=13
（2）设切线为y=kx-5
带入圆方程得
(k^2+1)x^2-(10k+2)x+13=0
判别式=100k^2+40k+4-52(k^2+1)=48k^2+40k-48=0
得k=2/3或-3/2
所以切线方程为y=2/3 x+5和y=-3/2 x+5 .