设G是一个群,H,N是G的子群,证明:H,N的交是G的子群

题目

设G是一个群,H,N是G的子群,证明:H,N的交是G的子群

答案

设G是一个群,H,N是G的子群
则对任意a,b∈H∩N, 有 a,b∈H 且 a,b∈N
因为H,N是群, 所以 a^(-1)b ∈H 且 a^(-1)b∈N
所以 a^(-1)b∈H∩N.
又H∩N显然非空 (都有单位元e)
所以H∩N是G的子群.