如图（1）,点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,连接CN、DM． （1）判断CN、DM的关系

题目

如图（1）,点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,连接CN、DM． （1）判断CN、DM的关系
（2）如图（2）,设CN、DM的交点为H,连接BH,求证：△BCH是等腰三角形；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM,延长MA′交DC的延长线于点E,试求出CE:BE的值

答案

(1)CN=DM;CN⊥DM.
证明:∵AM=DN;AD=DC;∠A=∠CDN=90°.
∴⊿DAM≌⊿CDN(SAS),CN=DM;∠ADM=∠DCN.
∴∠CHD=180°-(∠CDH+∠DCN)=180°-(∠CDH+∠ADM)=90°,得CN⊥DM.
(2)证明:取CD的中点F,连接BF,交CH于G.则DF=BM,且DF∥BM.
∴四边形BFDM为平行四边形,BF∥MD,得CG/GH=CF/FD=1,CG=GH;
又MD⊥CN(已证),则BF⊥CN.
即BF垂直平分CH,故:BC=BH.
设ME交BC于P,连接DP.
∵CD=AD=A'D;DP=DP;∠DA'P=∠DCP=90°.
∴Rt⊿DCP≌Rt⊿DA'P(HL),CP=A'P.
设正方形边长为2,CP=x,则A'P=x,PM=A'P+A'M=x+AM=x+1,PB=BC-PC=2-x.
BM²+PB²=PM²,即1²+(2-x)²=(1+x)²,x=2/3.即PC=2/3,PB=2-PC=4/3.
∵CE∥BM.
∴CE/BM=PC/PB,即CE/1=(2/3)/(4/3),CE=1/2.
所以,CE:BE=(1/2):√(BC²+CE²)=(1/2):√(4+1/4)=(1/2):(√17/2)=1:√17.