设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　） A.c1y1+c2y2+y3 B.c1y1+c

题目

设线性无关的函数y₁，y₂，y₃都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，c₁，c₂是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　）
A. c₁y₁+c₂y₂+y₃
B. c₁y₁+c₂y₂-（c₁+c₂）y₃
C. c₁y₁+c₂y₂-（1-c₁-c₂）y₃
D. c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃

答案

因为：y₁，y₂，y₃线性无关，
所以：y₁-y₃，y₂-y₃是线性无关的．
又因为：函数y₁，y₂，y₃都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，
所以：c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）是y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解，
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知：
c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）+y₃=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃是y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解，
故选：D．