等差数列的前几项和的有关性质的推导

题目

等差数列的前几项和的有关性质的推导
当n为2n-1时,S奇-S偶=a中, S奇/S偶=n/n-1
当n为2n时,S偶-S奇=nd,S偶/S奇=an+1/an
这两条怎么推导

答案

(1)当n为2n-1时
S奇-S偶=(a1+a3+a5+...+a(2n-1))-(a2+a4+...+a(2n-2))
=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+...+(a(2n-1)-a(2n-2))
=a1+(n-1)d
=an
=a中
因为a1+a(2n-1)=2an,a2+a(2n-2)=2an.
所以S奇/S偶=(a1+a3+a5+...+a(2n-1))/(a2+a4+...+a(2n-2))
=nan/(n-1)an
=n/(n-1)
(2)当n为2n时
S偶-S奇=(a2+a4+...+a2n)-(a1+a3+a5+...+a(2n-1))
=(a2-a1)+(a4-a3)+...+(a2n-a(2n-1))
=nd
因为a1+a(2n-1)=2an.,a2+a2n=2a(n+1).
所以S偶/S奇=(a2+a4+...+a2n)/(a1+a3+a5+...+a(2n-1))
=na(n+1)/nan
=a(n+1)/an