一直线经过三角形abc的重心,分别交边ab,ac于点p,q.向量ap=x向量ab,向量aq=y向量ac,则(x+y)/xy=?

题目

一直线经过三角形abc的重心,分别交边ab,ac于点p,q.向量ap=x向量ab,向量aq=y向量ac,则(x+y)/xy=?

答案

要解这个题目,首先要知道,由平面向量基本定理可推出：当向量a和b不共线时,若实数λ和μ满足λ*a＋μ*b=0向量,则λ=μ=0.
【解】：设三角形的重心为G.
设向量AB、AC分别为a、b,则AP＝x*a,AQ＝y*b,
延长AG,交BC于D,则向量AG=向量AD*2/3=（a+b）/3,
所以向量PG=向量AG-向量AP=（1/3-x）*a+1/3*b,
同理向量QG=向量AG-向量AQ=1/3*a+（1/3--y）*b,
又因为向量PG与向量QG共线,所以存在实数m使向量PG=m*向量QG,
即（1/3-x）*a+1/3*b=m/3*a+m（1/3--y）*b,
所以（1/3-x-m/3）*a+（1/3-m/3+my）*b=向量0,
因为向量a和向量b不共线,
所以1/3-x-m/3=0且1/3-m/3+my=0,
将前式化成m=1-3x代入后式化简得：x＋y=3x*y,
∴(x+y)/xy=3.