已知函数f(x)=lg(x^2+2x+a)

题目

已知函数f(x)=lg(x^2+2x+a)
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围.
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围.

答案

1.对数真数要求>0,即x²+2x+a=(x+1)²+a-1>0
其中(x+1)²+a-1是开口向上,对称轴x=-1的抛物线,所以只要最低点大于0,也就是抛物线与x轴不相交时定义域为R.综上,要求a-1>0,即a>1
2.要求值域为R,因为x²+2x+a是开口向上的抛物线,所以要求x²+2x+a能够取(0,+∞)中所有的值,从图像看,要求抛物线与x轴要有交点,即a-1≤0,也就是a≤1时f(x)的值域为R