证明题 设f(x)为连续函数,F(t)=∫(1~t)dy∫(y~t)f(x)dx 1.证明：F(t)=∫（1~t）(x-1)f(x)dx

题目

证明题 设f(x)为连续函数,F(t)=∫(1~t)dy∫(y~t)f(x)dx 1.证明：F(t)=∫（1~t）(x-1)f(x)dx
2.求F(2)的导数

答案

①：
F(t) = ∫(1→t) dy ∫(y→t) ƒ(x) dx
交换积分次序：从Y型区域变为X型区域
y∈[1,t] ==> y∈[1,x]
x∈[y,t] ==> x∈[1,t]
F(t) = ∫(1→t) dx ∫(1→x) ƒ(x) dy
= ∫(1→t) (x - 1)ƒ(x) dx
②：
F(t) = ∫(1→t) (x - 1)ƒ(x) dx,由上面的结果
F'(t) = (t - 1)ƒ(t)
F'(2) = (2 - 1)ƒ(2) = ƒ(2)