已知函数f(x)＝sin2x+3cos2x （1）求函数f（x）的最大值和最小值； （2）求函数f（x）的最小正周期； （3）求函数f（x）的单调递增区间．

题目

已知函数f(x)＝sin2x+

3

cos2x
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

答案

（1）∵f(x)＝sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)，
故[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=2．
（2）函数的最小正周期为 T=

2π

2

=π．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ−

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

  ， (k∈Z)，
故函数的单调增区间为 [kπ−

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．

（1）化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x+

π

3

)，由此求得函数的最值．
（2）由函数的解析式可得，函数的最小正周期为 T=

2π

2

=π．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调增区间．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题驻澳考查三角恒等变换及化简求值，复合三角函数的最值、单调性、周期性，属于中档题．