如图,在直角三角形ABC中,角BAC的90,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,识AD=二分之一AB,连接DE,DF

题目

如图,在直角三角形ABC中,角BAC的90,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,识AD=二分之一AB,连接DE,DF
求证,AF与DE互相平分,
若BC=4,求DF的长

答案

由题意知,AD=AB/2,∠BAC=90°, E,F分别是BC,AC的中点,作EG⊥AB,如下图, 则有
∠BGE=∠BAC=90°,∠GBE=∠ABC,由“两角对应相等两三角形相似”判定
△BGE∽△BAC,即BG：BA=BE：BC=GE：AC=1：2,即GE=AF=AC/2,BG=BA/2.同理可证,△DAH∽△DGE,因AD=AB/2,BG=BA/2,所以DA：DG=DH：DE=AH：GE=1：2,即DH= DE/2,AH=GE/2= AC/2,即AF与DE互相平分.
因AF：AC=1：2,AD：AB=1：2,∠DAC=∠BAC=90°,由“两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.”判定△DAC∽△BAC,即AD：AB=DF：BC=1：2,即DF= BC/2,当BC=4时,DF= BC/2=4/2=2.