已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1． （1）求f（x），g（x）； （2）证明函数S（x）=xf（x）+g（1/2）在（0，+∞）上是增函数．

题目

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1．
（1）求f（x），g（x）；
（2）证明函数S（x）=xf（x）+g（

1

2

答案

（1）设f（x）=ax，∵f（x）是正比例函数且f（1）=1
∴a=1，f（x）=x
设g(x)＝

b

x

∵函数g（x）是反比例函数，g（1）=1
∴b=1，g(x)＝

1

x

（2）S（x）=xf（x）+g（

1

2

）=x²+2
求导，得S′（x）=2x
在（0，+∞）S′（x）=2x＞0 所以
函数S（x）=xf（x）+g（

1

2

）在（0，+∞）上是增函数．