若X1=a>0,Y1=b>0(a>b),且Xn+1=(XnYn)^1/2,Yn+1=1/2(Xn+Yn) 证明lim(n→ ∝ )Xn与lim(n→ ∝ ）Yn存在

题目

若X1=a>0,Y1=b>0(a>b),且Xn+1=(XnYn)^1/2,Yn+1=1/2(Xn+Yn) 证明lim(n→ ∝ )Xn与lim(n→ ∝ ）Yn存在
怎么证Yn是单调且有界的?

答案

1）Xn+1=(XnYn)^1/2 < 1/2 (Xn+Yn)=Yn+1
所以Xn < Yn
Yn+1=1/2(Xn+Yn) < 1/2(Yn+Yn)=Yn 所以Yn递减
又因为Y1=b>0,X1=a>b, Y2=1/2(a+b) > X2=(ab)^2 ,所以Yn从Y2开始递减,即Yn < Y2
Y2=1/2(a+b) > b>0, 所以Yn单调有界, 即极限存在.
2）Xn+1=(XnYn)^1/2 > (Xn Xn)^1/2=Xn 所以Xn递增,同理,Xn从x2开始递增, 即 Xn > X2
又因为Xn< Yn < Y2 =1/2(a+b) < a, 所以Xn单调递增有界,即极限存在.
感觉好像不对.Yn+1=(1/2)*(Xn+Yn) 还是Yn+1=1/[2*(Xn+Yn)] ?如果是=(1/2)*(Xn+Yn)那上面的过程就是对的