设A是数域F上的n阶方阵,秩A=1,证明（1）存在n*1矩阵和1*n矩阵C,使A=BC （2）A^2=kA

题目

设A是数域F上的n阶方阵,秩A=1,证明（1）存在n*1矩阵和1*n矩阵C,使A=BC （2）A^2=kA

答案

1、R（A)=1,存在可逆的n阶方阵P、Q,A=PE11Q,E11是第一行第一列元素=1,其他元素都=0的矩阵.A=P（1,0,...,0）^T（1,0,...,0）Q
B=P（1,0,...,0）^T,C=（1,0,...,0）Q
A=BC
2、CB=（K）实际上K是Q的第一行和P的第一列对应元素乘积之和.
A^2=BCBC=B(K)C=KBC=KA