已知sina+cosa=2/3,a∈(0,π),求sina与cosa及sin^3a+cos^3a的值

题目

已知sina+cosa=2/3,a∈(0,π),求sina与cosa及sin^3a+cos^3a的值

答案

sina+cosa=2/3 （0）
(sina+cosa)^2=4/9
(sina)^2+(cosa)^2+2sinacosa=4/9
1+2sinacosa=4/9
2sinacosa=4/9-1
2sinacosa=-5/9 (1)
sinacosa=-5/18 (2)
(sina-cosa)^2
=(sina)^2+(cosa)^2-2sinacosa
=1+5/9
=14/9
a∈(0,π),
sina>0
由（2）知：cosa0
sina-cosa=（根号14）/3 (3)
由（0）,（3）,解方程：
sina=(2+根号14）/6
cosa=(2-根号14）/6
sin^3a+cos^3a
=(sina+coaa)(sin^2a+coa^2a+sinacosa)
=(-5/9)*(1-5/18)
=(-5/9)*13/18
=-65/162