已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143,那么这两个合数分别是多少?为什么是33和44,

题目

已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143,那么这两个合数分别是多少?为什么是33和44,

答案

设两数a,b,最小公倍数（设为c）必定可被最大公约数（设为d）整除,
143=b+c可知143可被d整除,143=11*13,则d只能是1,11,13,143之一
①若d=1,则ab互质,a*b=c=143-d=142=71*2,由于ab均为合数,则(2,71)和(1,142)均不满足
②若d=143,则d+c>143,矛盾
③若d=11,则设a=11m=11n,有mn互质,mn+1=13,得mn=12=2²*3
且m和n均大于1（否则a或b是质数11）,则m和n只能是3和4,得两个合数分别是33和44
④若d=13,与前面类似,可得a=13m,b=13n,有mn互质,mn+1=11,得mn=10=2*5,
m和n只能是2和5,得两个合数分别是26和65
综上共有两组解(33,44)和(26,65)