设A为满足等式A^2--3A+2E=0的矩阵,证明A可逆,并求A逆.可以这样解么?

题目

设A为满足等式A^2--3A+2E=0的矩阵,证明A可逆,并求A逆.可以这样解么?
由题知 （A--2E)(A--E)=0 得 A=E 或A=2E 所以 A可逆 A逆=E 或 A逆=0.5E

答案

这样不行.
矩阵的乘法有零因子,即 由 AB=0 不能得到 A=0 或B=0.
因为 A^2-3A+2E=0
所以 A(A-3E) = -2E
所以 A可逆,且 A^-1 = (-1/2) (A-3E)