设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.证明A可逆,并且求A的逆矩阵.

题目

设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.证明A可逆,并且求A的逆矩阵.

答案

A²+3A-2E=0,
所以A²+3A=2E,
即A(A+3E)=2E,
于是A(A/2+3E/2)=E,
显然A为n阶方阵,
而A和A/2+3E/2是同阶方阵,
而两者相乘为E,
所以由逆矩阵的定义可以知道A可逆,且其逆矩阵为 A/2+3E/2