设三阶实对称矩阵A的特征值为-1,1,1.与特征值-1对应的特征向量X=(-1,1,1),求A

题目

设三阶实对称矩阵A的特征值为-1,1,1.与特征值-1对应的特征向量X=(-1,1,1),求A

答案

由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交知
特征值-1对应的特征向量a1=(-1,1,1)'与属于特征值为1的特征向量与X=(x1,x2,x3)'正交
即有 -x1+x2+x3 = 0.
解得一个基础解系 a2=(1,0,1)',a3=(1,1,0)'.
将a2,a3正交化得 b1=(1,0,1)',b2=(1/2,1,-1/2)'=(1/2)(1,2,-1)'.
将a1,b2,b3单位化得
c1=(-1/√3,1/√3,1/√3)',c2=(1/√2,0,1/√2)',c3=(1/√6,2/√6,-1/√6)'.
令P=(c1,c2,c3) =
-1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 0 2/√6
1/√3 1/√2 -1/√6
则P为正交矩阵,满足 P^-1AP=diag(-1,1,1)
所以有 A = Pdiag(-1,1,1)P^-1 =
1/3 2/3 2/3
2/3 1/3 -2/3
2/3 -2/3 1/3
= (1/3)* [提出1/3,好看些]
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1