函数f(x)是定义在R上的函数,且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3成立且f(-1)=0

题目

函数f(x)是定义在R上的函数,且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3成立且f(-1)=0
(1)求f(1),f(2)的植
（2）若函数y=f(x+1)是偶函数,求f(x)的解析式

答案

令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0)+3, f(0)=-3
令x=1,y=-1,f(0)=f(1)+f(-1)-2+3, f(1)=-3-1=-4
令x=y=1,f(2)=f(1)+f(1)+2+3, f(2)=-4-4+2+3=-3
y=f(x+1)是偶函数就是y=f(x+1)关于y轴对称,他是由y=f(x)向左平移1得到的
所以y=f(x)关于x=1对称,所以f(1+x)=f(1-x)
代入原式得f(1)+f(x)+2x+3=f(1)+f(-x)-2x+3
f(x)=f(-x)-4x
原式中令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)-2x²+3, 得 f(-x)=-f(x)+2x²-3
与上式合并得f(x)=-f(x)+2x²-6-4x
所以f(x)=x²-2x-3