已知圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),圆心C到直线AB的距离为10,求圆C的方程.

已知圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),圆心C到直线AB的距离为10,求圆C的方程.

题目
已知圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),圆心C到直线AB的距离为
10
,求圆C的方程.
答案
法Ⅰ:设圆心C(a,b),半径为r
易见线段AB的中点为M(2,1)…(2分)
∵CM⊥AB,kAB=
-2-4
3-1
=-3

kCM=
b-1
a-2
=
1
3
即:3b=a+1①…(5分)
又∵|CM|=
10
∴(a-2)2+(b-1)2=10②…(8分)
联立①②得
a=-1
b=0
a=5
b=2

即C(-1,0)或C(5,2)…(10分)
∴r2=|CA|2=20
故圆的方程为:(x+1)2+y2=20或(x-5)2+(y-2)2=20…(12分)
法Ⅱ:∵A(1,4)、B(3,-2)
∴直线AB的方程为:3x+y-7=0…(2分)
∵线段AB的中点为M(2,1)
∴圆心C落在直线AB的中垂线:x-3y+1=0上.…(4分)
不妨设C(3b-1,b)…(5分)
|3(3b-1)+b-7|
32+12
=
10
…(8分)
解得b=0或b=2
即C(-1,0)或C(5,2)…(10分)∴r2=|CA|2=20
故圆的方程为:(x+1)2+y2=20或(x-5)2+(y-2)2=20…(12分)
解法I:设圆心C(a,b),半径为r,圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),圆心C到直线AB的距离为
10
,由垂径定理可得,圆心与直线AB的中点M的连线长度为
10
,且与AB垂直,由此建立关于a,b,r的方程组,进而得到圆C的方程.
解法II:由已知中圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),我们由垂径定理得到C点在AB的中垂线上,可设C点坐标为C(3b-1,b),进而根据圆心C到直线AB的距离为
10
,构造方程求出b值,进而求出圆的半径,得到圆C的方程.

直线和圆的方程的应用.

本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,其中根据圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),得到圆心在AB的中垂线上,是解答本题的关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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