求摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）的一拱（0≤t≤2π）与y=0绕x轴所转成图形的体积.

题目

求摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）的一拱（0≤t≤2π）与y=0绕x轴所转成图形的体积.

答案

摆线属于常用平面曲线,其图形可以先画出来,整个区域是一个曲边梯形,底边是区间[0,2πa],曲边是摆线,所以图形的面积是一个定积分：S＝∫(0→2πa) y dx,把x＝a（t-sint）,y=a（1-cost）代入,相当于对定积分使用了换元法：
S＝∫(0→2π) a(1-cost) d(a(t-sint))＝.＝3πa^2