斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程. .
题目
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程.
.
答案
设M的坐标为(x,y),斜率为1的直线方程为y=x+m,且A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),
由
消去y,得x
2+(2m-2)x+m
2=0,…(2分)
根据一元二次方程根与系数的关系,得
…(6分)
∵点M是线段AB的中点,
∴
x==1−m,y=x+m=1,…(8分)
∵直线与抛物线有两个不同交点,
∴△=(2m-2)
2-4m
2>0,解之得
m<,
结合x=1-m可得M横坐标的范围是(
,+∞),…(9分)
因此,线段AB中点M的轨迹方程为:
y=1(x∈(,+∞)).…(10分)
设斜率为1的直线方程为y=x+m,且A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),由直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程(m为参数),利用根与系数的关系,得到x
1+x
2与x
1x
2关于m的表示式.设M(x,y),由中点坐标公式算出x=1-m且y=x+m=1,最后根据一元二次方程根的判别式算出m
<,进而得到x
>,可得线段AB中点M的轨迹方程.
轨迹方程.
本题给出斜率为1的直线与抛物线相交于点A、B,求线段AB中点的轨迹方程,着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系和轨迹方程的求法等知识,属于中档题.
举一反三
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