双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
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双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
题目
双曲线
x
答案
由双曲线的定义与几何性质以及正弦定理得,
e=
c
a
=
sin∠
PF
2
F
1
sin∠
PF
1
F
2
=
|
PF
1
|
|
PF
2
|
=
2a+|
PF
2
|
|
PF
2
|
=1+
2a
|
PF
2
|
;
∵|PF
2
|>c-a,即e<1+
2
e−1
,∴e
2
-2e-1<0;
又∵e>1,∴1<e<
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