已知曲线E:ax^2+by^2=1(a＞0,b＞0),经过点M（（√3）/3,0）的直线L与曲线E交于点A,B,且向量MB=-向量MA（1）若点B的坐标为（0,2）,求曲线E的方程（2）若a=b=1,

题目

已知曲线E:ax^2+by^2=1(a＞0,b＞0),经过点M（（√3）/3,0）的直线L与曲线E交于点A,B,且向量MB=-向量MA（1）若点B的坐标为（0,2）,求曲线E的方程（2）若a=b=1,求直线AB的方程

答案

1）曲线E:ax^2+by^2=1(a＞0,b＞0),经过点（0,2）,
∴4b=1,b=1/4.
BM的斜率=-2√3,L:y=-2x√3+2,
代入ax^2+y^2/4=1,得
(a+3)x^2-2(√3）x=0,
由向量MB=-向量MA知M是AB的中点,
∴(√3）/(a+3)=1/√3,a=0.
∴曲线E的方程是y^2=4.
(2)L:y=k(x-1/√3）,
代入x^2+y^2=1,得
（1+k^2)x^2-2k^2*x/√3+k^2/3-1=0,
由向量MB=-向量MA知M是AB的中点,
∴k^2/[(1+k^2)√3]=1/√3,
k^2/(1+k^2)=1,k=∞,
∴AB:x=(√3)/3.