以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　） A.5 B.5 C.2 D.2

题目

以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）
A.

5

B. 5
C.

2

D. 2

答案

不妨设双曲线的方程为：x2a2−y2b2＝1，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，即bx-ay=0∵以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切∴|bc| b2+a2 ＝2a∴b2c2=4a2（b2+a2）∴（c2-a2）c2=4a...

不妨设双曲线的方程为：

x2

a2

−

y2

b2

＝1，双曲线的一条渐近线方程为y＝

b

a

x，即bx-ay=0，根据以双曲线的焦点为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，可建立方程，从而得解．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题以双曲线为载体，考查圆与双曲线的渐近线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用直线与圆相切是关键．