设椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的左右焦点分别为F1、F2,点P为C上动点,若向量|PF1|·向量|PF

题目

设椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的左右焦点分别为F1、F2,点P为C上动点,若向量|PF1|·向量|PF

答案

依题意：∠F1PF2为钝角,在△F1PF2中依余弦定理有：
│F1P│^2+│F2P│^2＜│F1F2│^2=4c^2=20
设P为(x0,y0)由焦半径公式*：
│F1P│=a+ex0,│F2P│=a-ex0
于是：-3√5/5＜x0＜3√5/5.
*注：焦半径公式P(x0,y0)为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点F1为右焦点
右准线为x=a^2/c=a/e
P到右准线的距离为：d=a/e-x0
由椭圆的第二定义（到定点的距离等于 e 乘以它们到定直线的距离）
│PF1│=ed=a-ex0
由椭圆的第一定义（到两定点的距离和为常数）
│PF2│=2a-│PF1│=a+ex0.