河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9m,拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽4m,故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m,为此,必须加重舰载,降低船身
题目
河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9m,拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽4m,故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m,为此,必须加重舰载,降低船身,才能通过桥洞.试问船身至少应该降低多少?(精确到0.01,参考数据:
≈99.383)
答案
以正常水位时河道中央O为原点,过点O垂直于水面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.…(3分)
设桥拱圆的圆心O
1(0,y
0),半径为r,则圆的方程为
x2+(y−y0)2=r2依题意得:(r-9)
2+11
2=r
2
解得:
r=,
y0=−∴圆的方程为
x2+(y+)2=()2…(6分)
当x=2时,
y=≈8.82 …(9分)
6.5-(8.82-2.70)=0.38m …(13分)
∴为使船能通过桥洞,应至少降低船身0.38m …(15分)
建立坐标系,确定圆的方程,再令x=2,即可求得通过桥洞,船身至少应该降低多少.
圆方程的综合应用.
本题考查圆的标准方程,考查圆的方程的运用,正确建立坐标系是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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