等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度做直线运动,

题目

等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度做直线运动,
2012-09-16 18:13丨丶不要再ai | 分类：| 浏览1039次
等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度做直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于D．
（1）当点P运动几秒时,△PCQ的面积等于△ABC的面积?
（2）作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?

答案

当t＜10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10-t
∴s＝1/2×t×(10−t)＝1/2 (10t−t2)
当t＞10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t-10
∴s＝1/2×t×(t−10)＝1/2 (t2−10t)
（1）∵S△ABC=1/2*AB•BC＝50（5分）
∴当t＜10秒时,S△PCQ=1/2 (10t−t2)＝50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时,S△PCQ=1/2(t2−10t)＝50
整理得t2-10t-100=0解得x＝5±5√5
∵x>0 ∴x=5+5√5
∴当点P运动5+5√5秒时,S△PCQ=S△ABC
（2）当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM=√2/2t,
∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10√2
∴DE=5√2
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变