请问谁会解这道高数题?已知e^z-xyz=0,利用全微分形式不变性求出z对x和z对y的偏导数

题目

请问谁会解这道高数题?已知e^z-xyz=0,利用全微分形式不变性求出z对x和z对y的偏导数
全微分的形式不变性 究竟是指什么？

答案

两边对z微分
e^z dz - d（xyz）=0
=e^z dz - xydz - zd（xy）
=e^z dz - xydz - zxdy - zydx
所以,整理两边：
（e^z - xy）dz = zxdy + zydx
所以：dz = zx/（e^z - xy）dy + zy/（e^z - xy）dx
变成了全微分
则z对x：zx/（e^z - xy）
z对y：zy/（e^z - xy）
设y=f(u),u=g(x),如果u=g(x)对x可微,y=f(u)对相应的u可微,则y=f[g(x)]对x可微,为dy = f[g(x)]’dx = f’(u)g’(x)dx = f’(u)du可以知道,无论u是自变量还是别的自变量的可微函数,微分形式dy=f’(u)du保持不变.这就是一阶全微分的形式不变性.