过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中心的直线交椭圆于AB两点,右焦点为F2(c,0)三角形ABF2最大面积为10,求长轴最小值

题目

过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中心的直线交椭圆于AB两点,右焦点为F2(c,0)三角形ABF2最大面积为10,求长轴最小值

答案

解由三角形ABF2的面积=SΔAOF2+SΔBOF2
=1/2OF2*A点纵标的绝对值+1/2OF2*B点纵标的绝对值
=1/2OF2*(A点纵标的绝对值+B点纵标的绝对值)
故当AB与x轴垂直时（A点纵标的绝对值+B点纵标的绝对值）的值最大
此时三角形ABF2的面积最大,此时三角形ABF2的面积=1/2*AB*OF2=1/2*2b*c=10
即bc=10
由a²=b²+c²≥2bc=2*10=20
即a≥2√5
即长轴最小值2a=4√5