如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP． 求证：PA是⊙O的切线．

题目

如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．
求证：PA是⊙O的切线．

答案

证明：作⊙O的直径AD，连接BD．
则∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D+∠BAD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°（等量代换）；
又∵∠PCA=∠BAP，
∴∠BAD+∠PAB=90°，即AP⊥AD，
∴PA是⊙O的切线．