证明 如果一个实对称矩阵A的特征值皆大于0,那么它是正定的

题目

证明 如果一个实对称矩阵A的特征值皆大于0,那么它是正定的

答案

因为矩阵A为实对称矩阵
所以存在可逆矩阵P,使得P^TAP=Λ=diag(λ1,λ2,...λn)
因为特征值λi>0
所以矩阵Λ为正定矩阵
所以矩阵Λ的正惯性指数=n
又因为矩阵A合同于矩阵Λ
所以矩阵A的正惯性指数=n
所以矩阵A为正定矩阵