函数极限与数列极限的问题

题目

函数极限与数列极限的问题
f(X)在(-∞,+∞)内单调有界,{Xn}为数列函数,下列命题正确的是：
A 若{Xn}收敛,则{f(Xn)}收敛
B 若{Xn}单调,则{f(Xn)}收敛
C 若{f(Xn)}收敛,则{Xn}收敛
D 若{f(Xn)}单调,则{Xn}收敛
这是08年数学一的考研题,请问为什么?

答案

A 的反例：f(x)=sgn(x) (符号函数) Xn=(-1)^n*(1/n)
C,D 的反例：f(x)=0 (常值函数) Xn=n
B正确是因为f单调有界,Xn单调,则f(Xn)作为数列是单调的,而且有界,因而收敛(用到实数的单调有界定理:单调有界的实数列一定有极限)