怎样证明n^（1/3）是无理数

题目

怎样证明n^（1/3）是无理数

答案

设n为正整数,当n不是完全立方数时,n^(1/3)是无理数.
= = = = = = = = =
1.若n=p,p为质数.
证明：假设 p^(1/3) 是有理数,
则 p^(1/3) =a/b,(a,b是互质的正整数.)
所以 p =(a^3) /(b^3),
即 a^3 =p (b^3).
所以 p|(a^3).
又因为 p 是质数,
所以 p|a.
令 a =pc,(c是整数),
则 (p^3) (c^3) =p (b^3),
即 b^3 =(p^2) (c^3).
所以 p|(b^3).
所以 p|b.
所以 a,b 有公约数p,
与 a,b 互质矛盾.
所以 假设不成立,
即 p^(1/3) 是无理数.
= = = = = = = = =
2.若n=p^2,p为质数.
证明：假设 n^(1/3) =p^(2/3) 是有理数,
则 p^(2/3) =a/b,(a,b是互质的正整数.)
所以 p^2 =(a^3) /(b^3),
即 a^3 =(p^2) (b^3).
所以 p|(a^3).
又因为 p 是质数,
所以 p|a.
令 a =pc,(c是整数),
则 (p^3) (c^3) =(p^2) (b^3),
即 b^3 =p (c^3).
所以 p|(b^3).
所以 p|b.
所以 a,b 有公约数p,
与 a,b 互质矛盾.
所以 假设不成立,
即 n^(1/3) 是无理数.
= = = = = = = = =
3.其他类型的非完全立方数.
不知怎么证.
但可以先化简.
比如：16^(1/3) =2 [ 2^(1/3) ],
54^(1/3) =2 [3^(1/3) ],
......