已知函数f(x)=cos（π/3+x)cos(π/3-x),g(x)=1/2sinx-1/4

题目

已知函数f(x)=cos（π/3+x)cos(π/3-x),g(x)=1/2sinx-1/4
1.求函数f(x)的最小正周期
2.求函数h(f)=f(x)-g(x)的最大值,并求值h(x)取得最大值的x集合

答案

1、f(x)=cos(π/3+x)cos(π/3-x）=1/2{cos[(π/3+x)+(π/3-x)]+cos[(π/3+x)-（π/3-x)]}=1/2[cos(2π/3)+cos2x]=1/2[cos(π-π/3)+cos2x]=(1/2)[-cos(π/3)+cos2x]=-1/4+(1/2)cos2x.f(x)的周期是T=2π/2=π.
2、h(f)=f(x)-g(x)=-1/4+(1/2)cos2x-(1/2sinx-1/4)=-1/4+(1/2cos2x-(1/2)sinx+1/4=1/2(cos2x-sinx)=1/2(1-2sin²x-sinx)=-[sin²x+(1/2)sinx-1/2]=-[sin²x+1/2sinx+1/16-1/2-1/16]=-(sinx+1/4)²+9/16.当sinx=-1/4
时,函数h(f)取最大值,最大值是9/16,此时x的集合是{（2k+1)π+arcsin(1/4),2kπ-arcsin(1/4) k∈Z}.